두 식은 분명히 같다 — 전개하면 같은 식이 된다. 하지만 "곱"의 형태가 더 유용한 순간이 많다. 값을 대입해 계산할 때, 0이 되는 $x$ 를 찾을 때, 다른 식과 결합할 때 — 곱의 꼴이 훨씬 다루기 쉽다.
$3(2x+3)$ ← 곱의 꼴 ★
✓ $x = -\dfrac{3}{2}$ 일 때 식의 값이 $0$ 이라는 사실이 곱의 꼴에서는 즉시 보인다.
✓ 이 직관이 다음 단원 이차방정식 풀이의 핵심이다.
인수분해란 무엇인가
1. 인수와 인수분해의 정의
다항식을 인수의 곱으로 나타내는 것이 인수분해.
$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$ — 오른쪽이 인수분해된 꼴이고, $(x+2), (x+3)$ 는 각각 인수.
2. 인수분해 vs 전개
곱셈과 인수분해는 정확히 반대 방향. 전개는 곱을 풀어 합으로, 인수분해는 합을 묶어 곱으로.
3. 인수분해의 검증법
인수분해한 결과를 다시 전개해서 원래 식이 나오면 옳다. 인수분해는 곱셈의 역연산이므로, 검증 자체가 곱셈으로 환원된다.
검증: $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$ ✓ — 합·차의 곱 공식.
공통인수 묶어내기
1. 공통인수의 정의
식 $ax+ay$ 의 모든 항에 공통으로 들어 있는 인수 $a$ 를 묶어내 곱의 형태로 만든다. 이 $a$ 가 공통인수.
숫자(공통인수의 GCD)와 문자(공통 변수의 최저차) 둘 다.
$3x(2x+3) = 6x^2 + 9x$ ✓
2. 숫자와 문자의 공통인수
숫자는 최대공약수(GCD), 문자는 공통으로 들어 있는 가장 낮은 차수까지 묶을 수 있다.
| 식 | 공통인수 | 인수분해 결과 |
|---|---|---|
| 4a + 8 | 4 | 4(a + 2) |
| 6x² + 9x | 3x | 3x(2x + 3) |
| 12a²b − 8ab² | 4ab | 4ab(3a − 2b) |
| x³ − 2x² | x² | x²(x − 2) |
3. 식이 공통인수로 묶일 때
숫자나 문자 외에 괄호로 묶인 식 전체도 공통인수가 될 수 있다.
$x(y+1) + 2(y+1) = (y+1)(x+2)$
$(y+1)$ 이라는 같은 덩어리가 두 항에 모두 들어 있다 — 그 덩어리를 공통인수로 묶어낸다.
공통인수 찾기 시뮬레이터
아래 식들 중 하나를 골라 공통인수와 인수분해 결과를 확인하라.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
$8x^2y - 12xy^2 + 4xy$ 를 인수분해하라.
- 숫자 부분: 8, 12, 4의 최대공약수 = 4
- 문자 부분: $x^2y, xy^2, xy$ 에 공통은 $xy$
- 공통인수 = $4xy$, 각 항을 $4xy$ 로 나눈 결과를 괄호 안에 적는다
- $8x^2y \div 4xy = 2x$, $-12xy^2 \div 4xy = -3y$, $4xy \div 4xy = 1$
- 결과 → $4xy(2x - 3y + 1)$
- 검증: $4xy \cdot 2x + 4xy \cdot (-3y) + 4xy \cdot 1 = 8x^2y - 12xy^2 + 4xy$ ✓
$x(a-b) - y(b-a)$ 를 인수분해하라.
- $(b-a) = -(a-b)$ 임을 이용
- 식을 바꾸면 $x(a-b) - y \cdot \{-(a-b)\} = x(a-b) + y(a-b)$
- $(a-b)$ 가 공통인수가 됨
- 결과 → $(a-b)(x+y)$
난이도별 연습 8문제
$2x + 6$ 을 인수분해하라.
$3a^2 + 6a$ 를 인수분해하라.
$x^2 - 5x$ 를 인수분해하라.
$4x^2 - 8x$ 를 인수분해하라.
$3a^2b - 6ab^2$ 를 인수분해하라.
$2x^3 - 6x^2$ 을 인수분해하라.
$a(x+2) - b(x+2)$ 를 인수분해하라.
$x(a-b) + y(b-a)$ 를 인수분해하라.
인수분해는 곱셈을 거꾸로 읽는 연습
모든 항을 살피고 공통된 부분을 묶어내는 것 — 이 단순한 직관이 모든 인수분해의 시작이다. 다음 차시부터는 곱셈공식의 역방향, 즉 완전제곱식과 차의 제곱을 인수분해하는 본격적인 공식을 배운다.